यदि A = begin{bmatrix} e^t & e^{-t} cos t & e | vedclass

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Question

(C) यह जांचने के लिए कि क्या $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t

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सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए व्युत्क्रमणीय

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(C) यह जांचने के लिए कि क्या $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \ 1 & -(\cos t + \sin t) & \cos t - \sin t \ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix} = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \ 1 & -\cos t - \sin t & \cos t - \sin t \ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix}$.पंक्ति संक्रियाओं $R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:$|A| = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \ 0 & -2 \cos t - \sin t & \cos t - 2 \sin t \ 0 & 2 \sin t - \cos t & -2 \cos t - \sin t \end{vmatrix}$.प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$|A| = e^{-t} [(-2 \cos t - \sin t)^2 - (\cos t - 2 \sin t)(2 \sin t - \cos t)]$.$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t - (2 \sin t \cos t - \cos^2 t - 4 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t)]$.$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t + \cos^2 t + 4 \sin^2 t - 4 \sin t \cos t] = e^{-t} [5 \cos^2 t + 5 \sin^2 t] = 5e^{-t}$.चूंकि $5e^{-t} 
eq 0$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए,इसलिए आव्यूह $A$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

यदि $A = \begin{bmatrix} e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \\ e^t & -e^{-t} \cos t - e^{-t} \sin t & -e^{-t} \sin t + e^{-t} \cos t \\ e^t & 2e^{-t} \sin t & -2e^{-t} \cos t \end{bmatrix}$ है,तो $A$ है:

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यदि $B = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint) है और $|A| = 5$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $A^3$ का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} x + \lambda & x & x \\ x & x + \lambda & x \\ x & x & x + \lambda \end{bmatrix}$,तो $A^{-1}$ का अस्तित्व है यदि

यदि $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ और $A \cdot \operatorname{adj} A = A^T$ है,तो $5a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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